小升初数学必考题型:面积计算中的五大模型转

小升初数学必考题型:面积计算中的五大模型转

时间:2020-02-14 08:34 作者:admin 点击:
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在小升初的面试题中,面积计算是肯定会出现的一类题型。而这些类型的题目,很多其实都已经涉及到了小学奥数的相关内容。

而在小学奥数中,关于面积的计算,大多数都可以通过五大面积模型的转换完成。

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;即:S1:S2=a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形。

即:如果直线AB和CD平行,那么三角形ACD的面积=三角形BCD的面积;换一个角度,如果三角形ACD的面积=三角形BCD的面积,那么直线AB和CD平行。

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比。

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如下图,在三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(图1);或D在BA的延长线上,E在AC上(图2)。那么三角形ABC:三角形ADE=(ABXAC):(ADXAE)

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”):

1、S1:S2=S4:S3或S1XS3=S2XS4;2、AO:OC=(S1+S2):(S3+S4)

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):

四、相似模型

所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.

在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.

五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交与同一点O,那么三角形ABO:三角形ACO=BD:DC。

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为三角形ABO和三角形ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

六、典型例题解析:

例一、如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?

例二、长方形ABCD的面积为36平方厘米,E、F、G为各边中点,H为AD

边上任意一点,问阴影部分面积是多少?

例三、在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积。

例四、如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15,四边形EFGO的面积为

例五、如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?